miércoles, 24 de agosto de 2011

Sobre los infinitos números primos

Muy buenas, ya estoy de vuelta de mis minivacaciones. En realidad volví el día 15 pero ya saben que últimamente no saludo mucho por aquí. Hoy sí, y me voy a quedar un rato para contarles una cosa que he aprendido estos días. Lo más probable es que a la mayoría de ustedes no les interese nada, pero haber entendido eso que ahora les voy a contar ha elevado, al menos durante un rato, y cada vez que lo evoco, mis niveles de felicidad. Y espero que entre la reducida pero selecta audiencia de este blog haya algún lector que al leerlo sienta la misma alegría. La alegría que se siente al comprender a un sabio que, como disfrutar de la obra de un maestro de la literatura o de la música, supone también compartir algo de su genialidad.

Les voy a hablar de los números primos, y entiendo que nada más leer esta frase la mitad de ustedes haya cerrado ya el navegador. No importa, quedamos los buenos. Pues resulta que este verano, estuve leyendo el libro Los números primos, de Enrique Gracián, muy recomendable como el resto de los de la colección de matemáticas RBA que por cierto se venden cada domingo con EL PAÍS. Y gracias a esta lectura tan agradable me enteré y, lo que es más importante, puede entender, una demostración -hay varias- de por qué podemos estar seguros de que hay infinitos números primos. Lo suyo sería recomendarles que se compraran el libro o que simplemente buscaran en Internet el razonamiento. Pero estoy tan orgulloso de haberlo entendido que me he propuesto explicarla aquí como el niño que le enseña a su madre las palabras que ha aprendido a escribir: no quiere que su mamá lea esa misma frase escrita por otro, aunque fuera Joyce o Marcel Proust. Quiere que lea sus letritas y yo quiero contar mi explicación, aunque siendo justos hay que aclarar que el razonamiento se le ocurrió al matemático griego Euclides (en la ilustración), padre de la geometría, en el siglo III antes de Cristo.

Primero, unas precisiones. Sólo vamos a hablar de los números naturales, que son los que se usan para contar los elementos de un conjunto: el 1, el 2, el 3, el 4... el 27... el 2.011... y así hasta el infinito. Los que conocen los niños, vaya, así que no piensen ni en el -5, ni el raíz cuadrada de 67 ni en el 7,789 ni en Pi. Pues bien, dentro de esos números naturales, un número primo, como deberíamos recordar del colegio, es aquel que sólo es divisible por 1 o por sí mismo. El 5, por ejemplo, es primo, porque si lo dividimos por cualquier número distinto de 5 o 1 no nos dará un número exacto. También lo son el 2 (que es el único primo par), el 17 o el 91, por poner otros tres ejemplos.

Los números compuestos en cambio son los que no son primos, los que tienen más divisores aparte del 1 y de ellos mismos. Por ejemplo, el 8, que puede dividirse por 4 o por 2 y nos da exacto; el 51, que es divisible por 3 y por 17 o el 1.000.000 que entre otros posibles divisores tiene el 2 y el 5. Pero al final todos los números compuestos (¡atención esto es importante) pueden expresarse como la multiplicación de números primos. Por ejemplo, el 35 es 5x7. El 48 es 2x2x2x2x3. Es verdad que un número compuesto puede en ocasiones dividirse por otros números compuestos (el 60 es divisible por 10, por 6 o por 30) pero estos a su vez pueden dividirse y volverse a dividir hasta quedar reducidos a un producto de números primos.

¿Cómo descomponemos cualquier número en factores primos? Como alguno recordará del colegio, empezamos dividiendo el número que sea por el primo más bajo, el 2 y si es divisible, lo volvemos a intentar hasta que ya no dé exacto. Luego por el siguiente primo, el 3, por el 5, por el 7... Pongamos un ejemplo práctico ¿Recuerdan estas tablitas del colegio? Empezamos con un número, el 660, por ejemplo. Lo dividimos por 2 y ponemos el resultado debajo, 330. Luego otra vez por 2 y volvemos a poner el resultado debajo, 165. Ahora ya no es divisible por 2, así que lo intentamos con el 3 y nos da 55. Como no es divisible por 3, lo dividimos por el siguiente primo, el 5 y nos da 11. Que no puede dividirse por 5, ni por 7... pero sí por 11. Y el resultado es 1 y hay terminamos la operación. Conclusión, 660=2x2x3x5x11.

660 | 2
330 | 2
165 | 3
55 | 5
11 | 11
1

¿Me siguen? Pues venga, continuamos. Los números primos han fascinado a los matemáticos de todos los siglos sobre todo porque tienen una característica muy especial. Aunque a los profanos nos puede parecer que el mundo de las matemáticas todo encaja perfectamente estos números se suceden sin seguir ninguna pauta, sin responder a ningún orden conocido. Después del 2 y el 3, que son los únicos consecutivos, puede haber dos primos que estén separados sólo por una cifra (el 29 y el 31, por ejemplo, que se llamarían entonces primos gemelos) y puede haber series larguísimas de números consecutivos (en realidad todo lo largas que queramos) sin uno de ellos. Pero centremos el tiro: hoy queríamos demostrar que existen infinitos primos, que por mucho que encontremos uno siempre habrá otro más grande.

Vamos a ello. Supongamos que hay un número finito de números primos. Entonces habrá un número que será el mayor de todos esos primos y que llamaremos N. ¿Hasta ahí bien? Pues bueno multipliquemos ese número N por todos los primos más pequeños (1x2x3x5x7...xN). Al resultado lo llamaremos X. Y le sumaremos 1, con lo cual nos resultará otro número que bautizaremos como Z. ¿Qué conseguimos al sumarle ese 1? Que esa cifra, Z, no sea divisible ni por N ni por ninguno de los primos más pequeños. ¿Cómo? ¿Nos hemos perdido? A ver: si yo multiplico cualquier número por 8, por ejemplo, el número resultante será divisible por 8... pero si le sumo 1 dejará de serlo. Como Y es divisible por N y todos los primos menores, si le sumo 1 dejará de ser divisible por todos ellos (dará siempre resto 1).

Si hemos logrado entender el párrafo anterior, y sé que no es fácil, estaremos muy cerca de entender la demostración completa. Sólo pido un pequeño esfuerzo más. Tenemos ahora ese número, Z. Y dos posibilidades. Uno, que Z sea primo, con lo cual hemos demostrado que N no es el primo más grande (porque Z siempre será mayor que N, ya que es N multiplicado por un montón de números más). Y dos, que Z no lo sea. Si no lo es, Z será un número compuesto, esto es, divisible por otros números pero ¿qué números serán esos?. No podrán ser ni N ni los primos más pequeños (que ya hemos visto que no son divisores de Z). Tendrán que ser número necesariamente más grandes. Si esos divisores son primos, ya hemos demostrado que hay primos mayores que ese N que se autoproclamaba como el mayor de su especie. Y si son compuestos tendrán que ser en última instancia divisibles por primos mayores que N (porque todos los más pequeños ya hemos visto que no lo dividían). Luego elijamos el número primo que elijamos siempre habrá un primo mayor. Luego los primos son infinitos.

Sé que todo el mérito es de Euclides y de Enrique Gracián que me explicó muy bien la tesis del sabio griego. Sé que hay miles de páginas en internet donde este razonamiento está mucho mejor contado. Pero si he conseguido que una sola persona entienda la demostración que he hecho, estaré satisfecho, como el niño que sabe que no ha escrito el Ulises ni En busca del tiempo perdido pero que está encantado de que le lea su madre.

lunes, 1 de agosto de 2011

Vacaciones

Pues eso. Que no es que no escribiera porque estuviese de vacaciones. Es que no escribía porque me he vuelto un gandul. Las vacaciones empiezan ahora, justamente hoy, y que no creo que me dé tampoco por escribir en este espacio: porque para mí descansar significa, cada vez más, estar desconectado. A ver si esa dexconexión me inspira y resucito este blog. Hasta entonces, que descansemos.